《欧拉方程及微分方程建模》思路与方法

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一、欧拉方程及其求解方法

具有结构

的变系数线性微分方程称之为欧拉方程.

令x=e^u，则u=lnx，于是有

记

即用D^k乘以一个函数，就是对该函数求k阶导数；并且关于D符合乘法运算律和分配律，即有

所以

用数学归纳法可以验证，

将原欧拉方程中x^ky^(k)全部用上式代入，则可以将原方程转化为以y为函数，u为自变量的常系数线性微分方程

即

于是，就可以通过常系数线性微分方程的求解方法求该方程的通解了。

【注】欧拉方程其实就是一种线性微分方程的结构，只不过不具有直接的显性结果，需要换元变换得到。

二、常系数线性微分方程组举例

常系数线性微分方程组解法步骤:

第一步：用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个函数的高阶方程；

第二步：求出此高阶方程的未知函数；

第三步：把求出的函数代入原方程组，一般通过求导得其它未知函数.

【注1】一阶线性方程组的通解中，任意常数的个数 = 未知函数个数

【注2】如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数的关系.

三、微分方程模型求解实际问题的基本步骤

(1) 确定模型类型：注意到实际问题中与数学中的导数相关的常用词语。比如运动学、化学反应中的变化率，速度、速率、加速度，经济学中的边际，生物学、金融、经济等领域中的增长，放射性问题中的衰变以及一般提及的改变、变化、增加、减少等，在几何上则有切线、法线，这样的问题都可能与导数或微分相关，有可能通过建立微分方程模型来反映其规律。

(2) 转换描述并统一量纲：梳理出实际问题中涉及到的各种量，并把相关的文字语言描述转换为数学语言与符号描述形式。如果牵涉到的量有单位，则统一量纲。

(3) 确定因变量与自变量：根据所求结果，确定与结果相关的两个量，一个为待求函数变量；一个为自变量；而与变化率相关的量即为待求函数的导数。

(4) 建立微分方程：分析问题中所涉及的原理或物理定律，根据已有变化率描述；或者借助微元分析法，给自变量一个增量，建立因变量增量与自变量增量相关的等式，并由平均变化率取关于自变量增量趋于0的极限，得到包含待求函数导数的相关等式，即微分方程描述形式。

(5) 确定初值条件：根据问题，找出并明确可能的初值条件；值得注意的是：有些初值条件不一定直接给出，可能在问题的解决过程中获得。

(6) 写出模型：写出由微分方程和初始条件构成的常微分方程初值问题模型。

(7) 求解初值问题：求初值问题的解，给出问题的答案。

微元法建立微分方程模型的方法与步骤请参见文末推荐阅读！

参考课件节选：

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